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\chapter{Variables Aleatorias Continuas}

\section{Fundamentos teóricos}
\subsection{Variables Aleatorias}
Se define una \emph{variable aleatoria} asignando a cada resultado del experimento aleatorio un número. Esta asignación puede realizarse de distintas maneras, obteniéndose de esta forma diferentes variables aleatorias. Así, en el lanzamiento de dos monedas podemos considerar el número de caras o el número de cruces. En general, si los resultados del experimento son numéricos, se tomarán dichos números como los valores de la variable, y si los resultados son cualitativos, se hará corresponder a cada modalidad un número arbitrariamente.

Formalmente, una \emph{variable aleatoria} $X$ es una función real
definida sobre los puntos del espacio muestral $E$ de un experimento
aleatorio. \[X:E\rightarrow \mathbb{R}\]

De esta manera, la distribución de probabilidad del espacio muestral
$E$, se transforma en una distribución de probabilidad para los
valores de $X$.

El conjunto formado por todos los valores distintos que puede tomar la variable aleatoria se llama \emph{Rango} o \emph{Recorrido} de la misma.

Las variables aleatorias pueden ser de dos tipos: discretas o continuas. Una variable es \emph{discreta} cuando sólo puede tomar valores aislados, mientras que es \emph{continua} si puede tomar todos los valores posibles de un intervalo.

\subsection{Variables Aleatorias Continuas (v.a.c.)}
Se considera una v.a.c. $X$. En este tipo de variables, a diferencia
de las discretas, la probabilidad de que la variable tome un valor
aislado cualquiera es nula, y sólo hablaremos de probabilidades
asociadas a intervalos.

\subsubsection{Función de densidad}
La \emph{distribución de probabilidad} de $X$ se suele caracterizar
mediante una función $f(x)$, conocida como \emph{función de
densidad}. Formalmente, una función de densidad es una función no
negativa, integrable en $\mathbb{R}$, que cumple
\[
\int_{ - \infty }^\infty  {f(x)dx = 1}
\]

A partir de esta función, se puede calcular la probabilidad de que
el valor de la variable pertenezca a un intervalo $[a,b]$, midiendo
el área encerrada por dicha función y el eje de abscisas entre los
límites del intervalo, como se observa en la
figura~\ref{g:probabilidadintervalo}, es decir
\[
P(a \le X \le b) = \int_a^b {f(x)dx}
\]

\begin{figure}[h!]
  \centering
  \scalebox{0.8}{\input{variables_aleatorias_continuas/img/calculo_probabilidad_funcion_densidad}} 
  \caption{En una v.a.c. la probabilidad asociada a un intervalo $[a,b]$, es el área que queda encerrada por
  la función de densidad y el eje de abscisas entre los límites del intervalo.}\label{g:probabilidadintervalo}
\end{figure}


\subsubsection{Función de distribución}
Otra forma equivalente de caracterizar la distribución de
probabilidad de $X$ es mediante otra función $F(x)$, llamada
\emph{función de distribución}, que asigna a cada $x\in \mathbb{R}$
la probabilidad de que $X$ tome un valor menor o igual que dicho
número $x$. Así,
\[
F(x) = P(X \le x) = \int_{ - \infty }^x {f(t)dt}
\]

A partir de la definición anterior es claro que la probabilidad de que la variable tome un valor en el
intervalo [a,b] puede calcularse a partir de la función de distribución de la siguiente forma:
\[
P(a \le X \le b) = \int_a^b {f(x)dx = } \int_{ - \infty }^b {f(x)dx - } \int_{ - \infty }^a {f(x)dx = } F(b) - F(a)
\]


\subsubsection{Estadísticos poblacionales}
Los parámetros descriptivos más importantes de una v.a.c. $X$ son:
\begin{description}
\item [Media o Esperanza]
\[
E[X]=\mu  = \int_{ - \infty }^\infty  {xf(x)\,dx}
\]

\item [Varianza]
\[
V[X]=\sigma ^2  = \int_{ - \infty }^\infty {(x - \mu )^2 f(x)\,dx =
} \int_{ - \infty }^\infty  {x^2  f(x)\,dx - \mu ^2 }
\]

\item [Desviación típica]
\[
D[X]=\sigma  =  + \sqrt {\sigma ^2 }
\]
\end{description}

La media es una medida de tendencia central, mientras que la
varianza y la desviación típica son medidas de dispersión.

La v.a.c. más importante es la \emph{Normal}.

\subsubsection{Distribución Normal}

Una v.a.c. $X$ se dice que sigue una \emph{Distribución Normal} o
\emph{Gaussiana} de media $\mu$ y desviación típica $\sigma$, y se
designa por $X\sim N(\mu,\ \sigma)$, si su recorrido es todo
$\mathbb{R}$ y su función de densidad es
\[
f(x) = \frac{1}{{\sigma \sqrt {2\pi } }}e^{ - \frac{{(x - \mu )^2 }}{{2\sigma ^2 }}}
\]

Esta función tiene forma acampanada y es simétrica con respeto a la media $\mu$.

La distribución Normal es la distribución continua más importante, ya que muchos de los fenómenos que aparecen en la naturaleza presentan esta distribución. Ello es debido a que, como establece el \emph{Teorema Central del Límite}, cuando los resultados de un experimento están influidos por muchas causas independientes que actúan sumando sus efectos, se puede esperar que dichos resultados sigan una distribución normal.

La v.a.c normal de media 0 y desviación típica 1, $Z\sim N(0,1)$, se conoce como \emph{variable normal estándar} o \emph{tipificada} y se utiliza muy a menudo. Su función de densidad aparece en la figura~\ref{g:funciondensidadnormal} y su función de distribución en la figura~\ref{g:funciondistribucionnormal}.

\begin{figure}[h!]
\centering \subfigure[Función de
densidad.]{\label{g:funciondensidadnormal}
\scalebox{0.7}{\input{variables_aleatorias_continuas/img/funcion_densidad_normal_estandar}}}\qquad
\subfigure[Función de distribución.]{\label{g:funciondistribucionnormal}
\scalebox{0.7}{\input{variables_aleatorias_continuas/img/funcion_distribucion_normal_estandar}}}
\caption{Función de densidad y función de distribución de la
variable aleatoria continua $Z$ Normal de media 0 y desviación
típica 1 \,\, $Z\sim N(0,1)$} \label{g:graficasvac}
\end{figure}

\subsubsection{Distribución Chi-cuadrado}
Si $Z_1,\ldots,Z_n$ son $n$ v.a.c. normales estándar independientes, entonces la variable
\[ X=Z_1^2+\cdots+Z_n^2\]
se dice que sigue una distribución \emph{Chi-cuadrado} con $n$
grados de libertad, y se nota $X\sim\chi^2(n)$.

\begin{figure}[h!]
  \centering
  \scalebox{0.8}{\input{variables_aleatorias_continuas/img/funcion_densidad_chi_cuadrado}} 
  \caption{Función de densidad de una variable aleatoria Chi cuadrado de 6 grados de libertad}\label{g:chicuadrado}
\end{figure}

Se cumple que
\begin{align*}
\mu &= n\\
\sigma &=+\sqrt{2n}
\end{align*}

La distribución Chi-cuadrado se utiliza en inferencia estadística para cálculos de intervalos de confianza y contrastes de hipótesis sobre la varianza de la población.

\subsubsection{Distribución $T$ de Student}
Si $Z$ es una v.a.c. normal estándar y $X$ es una v.a.c chi-cuadrado con $n$ grados de libertad, ambas variables independientes, entonces la variable
\[
T=\frac{Z}{\sqrt{X/n}}
\]
se dice que sigue una distribución \emph{T de Student} con $n$
grados de libertad, y se nota $T\sim T(n)$.

\begin{figure}[h!]
  \centering
  \scalebox{0.8}{\input{variables_aleatorias_continuas/img/funcion_densidad_t_student}} 
  \caption{Función de densidad de una variable aleatoria t de student de 10 grados de libertad}\label{g:tstudent}
\end{figure}

Esta variable es muy parecida a la normal estándar pero un poco
menos apuntada, y se parece más a ésta a medida que aumentan los
grados de libertad, de manera que para $n\geq 30$ ambas
distribuciones se consideran prácticamente iguales. Se cumple que
\begin{align*}
\mu &= 0\\
\sigma &=+\sqrt{n/(n-2)}\quad \textrm{con } n>2
\end{align*}

La distribución $T$ de Student se utiliza en inferencia estadística para cálculos de intervalos de confianza y contrastes de hipótesis sobre la media de la población.

\subsubsection{Distribución $F$ de Fisher-Snedecor}
Si $X$ e $Y$ son dos v.a.c chi-cuadrado con $m$ y $n$ grados de libertad respectivamente, ambas variables
independientes, entonces la variable
\[
F=\frac{X/m}{Y/n}
\]
se dice que sigue una distribución $F$ de Fisher-Snedecor con $m$ y
$n$ grados de libertad, y se denota $F\sim F(m,\ n)$.

\begin{figure}[h!]
  \centering
  \scalebox{0.8}{\input{variables_aleatorias_continuas/img/funcion_densidad_f_fisher}} 
  \caption{Función de densidad de una variable aleatoria F de Fisher-Snedecor de 6 y 8 grados de libertad}\label{g:ffisher}
\end{figure}

\begin{align*}
\mu &= \frac{n}{n-2}\\
\sigma &=+\sqrt{\frac{2n^2(m+n-2)}{m(n-2)^2(n-4)}}\quad \textrm{con
} n>4
\end{align*}

De la definición se deduce fácilmente que $F(m,\ n)=\dfrac{1}{F(n,\
m)}$, y si llamamos $F(m,\ n)_p$ al valor que cumple que $P(F(m,\
n)\leq F(m,\ n)_p)=p$, entonces se verifica
\[
F(m,\ n)_p = \frac{1}{F(n,\ m)_{1-p}}
\]

La distribución $F$ de Fisher-Snedecor se utiliza en inferencia estadística para cálculos de intervalos
de confianza y contrastes de hipótesis sobre el cociente de varianzas de dos poblaciones, y en análisis de la varianza.



\section{Ejercicios resueltos}

En los ejercicios prácticos propuestos vamos a utilizar las
siguientes funciones matemáticas, también llamadas operadores, de
SPSS:
\begin{description}[leftmargin=*]
\item[PDF.CHIQ $(c,n)$] que calcula el valor de la función de
densidad en el valor $c$, de la variable Chi-cuadrado con $n$
grados de libertad.

\item[PDF.F $(c,m,n)$] que calcula el valor de la función de
densidad en el valor $c$, de la variable F de Fisher-Snedecor con
$m$ y $n$ grados de libertad.

\item[PDF.NORMAL $(c,\mu,\sigma)$] que calcula el valor de la función de
densidad en el valor $c$, de la variable normal de media $\mu$ y
desviación típica $\sigma$.

\item[PDF.T $(c,n)$] que calcula el valor de la función de
densidad en el valor $c$ de la variable T de student con $n$
grados de libertad.

\item[PDF.UNIFORM $(c,a,b)$] que calcula el valor de la función de
densidad en el valor $c$ de la variable uniforme U de parámetros
$a$ y $b$.

\item[CDF.CHIQ $(c,n)$] que calcula el valor de la función de
distribución en el valor $c$, de la variable Chi-cuadrado con $n$
grados de libertad.

\item[CDF.F $(c,m,n)$] que calcula el valor de la función de
distribución en el valor $c$, de la variable F de Fisher-Snedecor
con $m$ y $n$ grados de libertad.

\item[CDF.NORMAL $(c,\mu,\sigma)$] que calcula el valor de la función de
distribución en el valor $c$, de la variable normal de media $\mu$
y desviación típica $\sigma$.

\item[CDF.T $(c,n)$] que calcula el valor de la función de
distribución en el valor $c$ de la variable T de student con $n$
grados de libertad.

\item[CDF.UNIFORM $(c,a,b)$] que calcula el valor de la función de
distribución en el valor $c$ de la variable uniforme U con
parámetro $a$ y $b$.

\item[IDF.CHIQ $(c,n)$] que calcula el valor de la variable
Chi-cuadrado con $n$ grados de libertad, cuando el valor de la
función de distribución es $c$.

\item[IDF.F $(c,m,n)$] que calcula el valor de la variable F de
Fisher-Snedecor con $m$ y $n$ grados de libertad, cuando el valor
de la función de distribución es $c$.

\item[IDF.NORMAL $(c,\mu,\sigma)$] que calcula el valor de la
variable normal de media $\mu$ y desviación típica $\sigma$,
cuando el valor de la función de distribución es $c$.

\item[IDF.T $(c,n)$] que calcula el valor de la variable T de
student con $n$ grados de libertad, cuando el valor de la función
de distribución es $c$.

\item[IDF.UNIFORM $(c,a,b)$] que calcula el valor de la variable
uniforme U de parámetros $a$ y $b$, cuando el valor de la función
de distribución es $c$.
\end{description}

\begin{enumerate}[leftmargin=*]
\item Dada la v.a.c. con distribución uniforme $X \sim U(0,10)$, se pide:

\begin{enumerate}
\item Definir la variable \variable{x}, dándole valores desde 0 hasta 2, con un incremento de $0.1$.

\item Calcular el valor de la función de densidad en los valores de \variable{x} introducidos.\\
\textbf{Observación}: Los valores de la función de densidad no son las probabilidades de cada valor de la variable. 
\begin{indicacion}{
\begin{enumerate}
\item Seleccionar el menú \menu{Transformar->Calcular...}.

\item Introducir el nombre de la nueva variable que vamos a crear, en este caso \variable{densidad}, dentro del campo
\campo{Variable de destino:}.

\item En el cuadro de diálogo \campo{Expresión numérica}, escribir o seleccionar del cuadro de diálogo
\opcion{Funciones} la función \comando{PDF.UNIFORM(c,mín,máx)}.
El primer parámetro puede ser un único valor o el nombre de una variable para calcular todos sus valores a la vez, en
este caso introducir la variable \variable{x}.
El segundo parámetro es el valor mínimo de la variable, en nuestro caso 0 y el último parámetro es el valor máximo de
la variable, en nuestro caso 2.
En este caso al introducir expresiones numéricas, se utilizará el punto como separador de decimales, ya que la coma se
usa como separador de parámetros.
\item Por último hacer click sobre el botón \boton{Aceptar}.
\end{enumerate}}
\end{indicacion}

\item Representar la función de densidad.

\begin{indicacion}{
\begin{enumerate}
\item Seleccionar el menú \menu{Gráficos->Dispersión...}.
\item Seleccionar la opción \opcion{Simple} y hacer click sobre el botón \boton{Definir}.
\item Introducir la variable \variable{x} en el cuadro de diálogo \campo{Eje X}.
\item Introducir la variable creada \variable{densidad} en el cuadro de diálogo \campo{Eje Y} y hacer click sobre el
botón \boton{Aceptar}.
\item Editar el gráfico haciendo doble click sobre el mismo, como queremos unir los puntos los seleccionaremos todos
haciendo click sobre uno de ellos.
\item Seleccionar el menú \menu{Gráficos->Añadir elemento de gráfico->Línea de interpolación}.
\item Dejar marcada la opción \opcion{Recta} y hacer click sobre el botón \boton{Cerrar}, por último cerrar el editor
de gráficos.
\end{enumerate}}
\end{indicacion}

\item  Calcular el valor de la función de distribución de dicha variable en los valores de \variable{x} introducidos.

\begin{indicacion}{
\begin{enumerate}
\item Seleccionar el menú \menu{Transformar->Calcular...}.
\item Introducir el nombre de la nueva variable que vamos a crear, en este caso \variable{probacumulada}, dentro del
campo \campo{Variable de destino}.
\item En el cuadro de diálogo \campo{Expresión numérica}, escribir o seleccionar del cuadro de diálogo
\opcion{Funciones} la función \comando{CDF.NORMAL(c,media,desv\_tip)}.
El primer parámetro puede ser un único valor o el nombre de una variable para calcular todos sus valores a la vez, en
este caso introducir la variable \variable{x}.
El segundo parámetro es la media de la variable, en nuestro caso 0 y el último parámetro es la desviación típica, en
nuestro caso 1.
En este caso al introducir expresiones numéricas, se utilizará el punto como separador de decimales, ya que la coma se
usa como separador de parámetros.
\item Por último hacer click sobre el botón \boton{Aceptar}.
\end{enumerate}}
\end{indicacion}

\item Dibujar la gráfica de la función de distribución.
\begin{indicacion}{
\begin{enumerate}
\item Seleccionar el menú \menu{Gráficos->Dispersión...}.
\item Seleccionar la opción \opcion{Simple} y hacer click sobre el
botón \texttt{Definir}.
\item Introducir la variable \menu{x} en el cuadro de diálogo \campo{Eje X}.
\item Introducir la variable creada \variable{probacumulada} en el cuadro de diálogo \campo{Eje Y} y hacer click sobre
el botón \boton{Aceptar}.
\item Editar el gráfico haciendo doble click sobre el mismo, como queremos unir los puntos los seleccionaremos todos
haciendo click sobre uno de ellos.
\item Seleccionar el menú \menu{Gráficos->Añadir elemento de gráfico->Línea de interpolación}.
\item Marcar la opción \opcion{Recta} y hacer click sobre el botón \boton{Cerrar}, por último cerrar el editor de
gráficos.
\end{enumerate}}
\end{indicacion}
\end{enumerate}

\item Dada la v.a.c. con distribución normal $X\sim N(0,\,1)$, se pide:
\begin{enumerate}
\item Crear la variable \variable{x} e introducir en el editor de datos de entre sus infinitos valores (toda la recta
real), por ejemplo aquellos que van desde -3 hasta 3, en incrementos de 0.2 (para introducir los 31 valores diferentes
resulta aconsejable la utilización de un programa de hoja de cálculo como Excel).
\item  Calcular el valor de la función de densidad en los valores de \variable{x} introducidos.
\begin{indicacion}{
\begin{enumerate}
\item Seleccionar el menú \menu{Transformar->Calcular...}.
\item Introducir el nombre de la nueva variable que vamos a crear, en este caso \variable{densidad}, dentro del campo
\campo{Variable de destino:}.
\item En el cuadro de diálogo \campo{Expresión numérica:}, escribir o seleccionar del cuadro de diálogo
\campo{Funciones} la función \comando{PDF.NORMAL(c,media,desv\_tip)}.
El primer parámetro puede ser un único valor o el nombre de una variable para calcular todos sus valores a la vez, en
este caso introducir la variable \variable{x}.
El segundo parámetro es la media de la variable, en nuestro caso 0 y el último parámetro es la desviación
típica, en nuestro caso 1.
En este caso al introducir expresiones numéricas, se utilizará el punto como separador de decimales, ya que la coma se
usa como separador de parámetros.
\item Por último hacer click sobre el botón \boton{Aceptar}.
\end{enumerate}}
\end{indicacion}


\item Dibujar la gráfica de la función de densidad de la variable \variable{x}.
\begin{indicacion}{
\begin{enumerate}
\item Seleccionar el menú \menu{Gráficos->Dispersión...}.
\item Seleccionar la opción \opcion{Simple} y hacer click sobre el botón \boton{Definir}.

\item Introducir la variable \variable{x} en el cuadro de diálogo \campo{Eje X}.
\item Introducir la variable \variable{densidad} en el cuadro de diálogo \campo{Eje Y} y hacer click sobre el
botón \boton{Aceptar}.
\item Editar el gráfico haciendo doble click sobre el mismo, como queremos unir los puntos los seleccionaremos todos
haciendo click sobre uno de ellos.
\item Seleccionar el menú \menu{Gráficos->Añadir elemento de gráfico->Línea de interpolación}.
\item Marcar la opción \opcion{Recta} y hacer click sobre el botón \boton{Cerrar}, por último cerrar el editor de
gráficos.
\end{enumerate}}
\end{indicacion}

\item  Calcular el valor de la función de distribución de dicha variable en los valores de \variable{x} introducidos.
\begin{indicacion}{
\begin{enumerate}
\item Seleccionar el menú \menu{Transformar->Calcular...}.
\item Introducir el nombre de la nueva variable que vamos a crear, en este caso \variable{probacumulada}, dentro del
campo \campo{Variable de destino}.
\item En el cuadro de diálogo \campo{Expresión numérica}, escribir o seleccionar del cuadro de diálogo
\campo{Funciones} la función \comando{CDF.NORMAL(c,media,desv\_tip)}.
El primer parámetro puede ser un único valor o el nombre de una variable para calcular todos sus valores a la vez, en
este caso introducir la variable \variable{x}.
El segundo parámetro es la media de la variable, en nuestro caso 0 y el último parámetro es la desviación
típica, en nuestro caso 1.
En este caso al introducir expresiones numéricas, se utilizará el punto como separador de decimales, ya
que la coma se usa como separador de parámetros.
\item Por último hacer click sobre el botón \boton{Aceptar}.
\end{enumerate}}
\end{indicacion}

\item Dibujar la gráfica de la función de distribución.
\begin{indicacion}{atom
\begin{enumerate}
\item Seleccionar el menú \menu{Gráficos->Dispersión...}.
\item Seleccionar la opción \opcion{Simple} y hacer click sobre el botón \boton{Definir}.
\item Introducir la variable \variable{x} en el cuadro de diálogo
\campo{Eje X}.
\item Introducir la variable \variable{probacumulada} en el cuadro de diálogo \campo{Eje Y} y hacer click sobre
el botón \boton{Aceptar}.
\item Editar el gráfico haciendo doble click sobre el mismo, como queremos unir los puntos los seleccionaremos todos
haciendo click sobre uno de ellos.
\item Seleccionar el menú \menu{Gráficos->Añadir elemento de gráfico->Línea de interpolación}.
\item Marcar la opción \opcion{Recta} y hacer click sobre el botón \boton{Cerrar}, por último cerrar el editor de
gráficos.
\end{enumerate}}
\end{indicacion}

\item Crear la variable \variable{invprobacumu} que, aplicada al valor de la función de distribución (probabi\-lidad
acumulada), nos devuelva el valor de \variable{x}.
Interpretar los valores de la variable obtenidos.
\begin{indicacion}{
\begin{enumerate}
\item Seleccionar el menú \menu{Transformar->Calcular...}.
\item Introducir el nombre de la nueva variable que vamos a crear, en este caso \variable{invprobacumu}, dentro del
campo \campo{Variable de destino}.
\item En el cuadro de diálogo \campo{Expresión numérica}, escribir o seleccionar del cuadro de diálogo
\campo{Funciones} la función \comando{IDF.NORMAL(c,media,desv\_tip)}.
El primer parámetro puede ser un único valor o el nombre de una variable para calcular todos sus valores a la vez, en
este caso introducir la variable \variable{probacumulada}.
El segundo parámetro es la media de la variable, en nuestro caso 0 y el último parámetro es
la desviación típica, en nuestro caso 1.
En este caso al introducir expresiones numéricas, se utilizará el punto como separador de decimales, ya que la coma se
usa como separador de parámetros.
\item Por último hacer click sobre el botón \boton{Aceptar}.
\end{enumerate}}
\end{indicacion}


\item Calcular las siguientes probabilidades:
\begin{enumerate}
\item $P(X< -1)$.
\begin{indicacion}{
Calcular \comando{CDF.NORMAL(-1,0,1)}.}
\end{indicacion}

\item $P(X\leq 2)$.
\begin{indicacion}{
Calcular \comando{CDF.NORMAL(2,0,1)}.}
\end{indicacion}

\item $P(X> 1.2)$.
\begin{indicacion}{
Calcular \comando{1-CDF.NORMAL(1.2,0,1)}.}
\end{indicacion}

\item $P(-2\leq X < 2.5)$.
\begin{indicacion}{
Calcular
\comando{CDF.NORMAL(2.5,0,1)}-\comando{CDF.NORMAL(-2,0,1)}.}
\end{indicacion}

\item $P(-2.223\leq X \leq 2.581)$.
\begin{indicacion}{
Calcular
\comando{CDF.NORMAL(2.581,0,1)}-\comando{CDF.NORMAL(-2.223,0,1)}.}
\end{indicacion}

\item $P(1.002< X < 6.234)$.
\begin{indicacion}{
Calcular
\comando{CDF.NORMAL(6.234,0,1)}-\comando{CDF.NORMAL(1.002,0,1)}.}
\end{indicacion}

\end{enumerate}

\begin{indicacion}{
Se podría calcular todos la valores a la vez definiendo la variables \variable{x}, introduciendo todos los valores que
necesitamos, en nuestro caso $-1, 2, 1.2, 2.5, -2, 2.581, -2.223, 6.234$ y $1.002$ y creando la variable
\variable{probabilidad} utilizando para ello la función \comando{CDF.NORMAL}.}
\end{indicacion}

\item Calcular los valores $x_0$ que cumplan lo siguiente.
\begin{enumerate}
\item $P(X\leq x_0)=0.995$.
\begin{indicacion}{
Calcular \comando{IDF.NORMAL(0.995,0,1)}.}
\end{indicacion}

\item $P(X> x_0)=0.025$.
\begin{indicacion}{
Calcular \comando{IDF.NORMAL(1-0.025,0,1)}.}
\end{indicacion}
\end{enumerate}

\begin{indicacion}{
Se podría calcular todos la valores a la vez definiendo la variable \variable{x}, introduciendo todos los valores que
necesitamos, en nuestro caso $0.995$ y $1-0.025$ y creando la variable \variable{invprobacumu} utilizando para ello la
función \comando{IDF.NORMAL}.}
\end{indicacion}
\end{enumerate}

\item Dada la v.a.c. con distribución normal $X\sim N(2.5\,,\,5)$, se pide:
\begin{enumerate}
\item calcular las siguientes probabilidades:
\begin{enumerate}
\item $P(X>4.5)$.
\begin{indicacion}{
Calcular 1-\comando{CDF.NORMAL(4.5,2.5,5)}.}
\end{indicacion}

\item $P(2.58 \leq X \leq 3.65)$.
\begin{indicacion}{
Calcular
\comando{CDF.NORMAL(3.65,2.5,5)}-\comando{CDF.NORMAL(2.58,2.5,5)}.}
\end{indicacion}
\end{enumerate}

\begin{indicacion}{
Se podría calcular todos la valores a la vez definiendo la variable \variable{x}, introduciendo todos los valores que
necesitamos, en nuestro caso $4.5, 3.65$ y $2.58$ y creando la variable \variable{probabilidad} utilizando para ello la
función \comando{CDF.NORMAL}.}
\end{indicacion}

\item Calcular los valores de $x_{0}$ que cumplen:
\begin{enumerate}
\item $P(X<x_{0})=0.238$.
\begin{indicacion}{
Calcular \comando{IDF.NORMAL(0.238,2.5,5)}.}
\end{indicacion}

\item $P(X > x_{0})=0.621$.
\begin{indicacion}{
Calcular \comando{IDF.NORMAL(1-0.621,2.5,5)}.}
\end{indicacion}
\end{enumerate}
\begin{indicacion}{
Se podría calcular todos la valores a la vez definiendo la variable \variable{x}, introduciendo todos los valores que
necesitamos, en nuestro caso $0.238$ y $1-0.621$ y creando la variable \variable{invprobacumu} utilizando para ello la
función \comando{IDF.NORMAL}.}
\end{indicacion}
\end{enumerate}


\item Dada la v.a.c. con distribución $T$ de Student $X\sim T(6)$, calcular las siguientes probabilidades:
\begin{enumerate}
\item $P(X\leq 0)$
\begin{indicacion}{
Calcular \comando{CDF.T(0,6)}.}
\end{indicacion}

\item $P(X\leq 1.2)$
\begin{indicacion}{
Calcular \comando{CDF.T(1.2,6)}.}
\end{indicacion}

\item $P(X>1.2)$
\begin{indicacion}{
Calcular 1-\comando{CDF.T(1.2,6)}.}
\end{indicacion}

\item $P(0 \leq X \leq 1.2)$

\begin{indicacion}{
Calcular \comando{CDF.T(1.2,6)}-\comando{CDF.T(0,6)}.}
\end{indicacion}

\begin{indicacion}{
Se podría calcular todos la valores a la vez definiendo la variable \variable{x}, introduciendo todos los valores que
necesitamos, en nuestro caso $0$ y $1.2$ y creando la variable \variable{probabilidad} utilizando para ello la función
\comando{CDF.T}.}
\end{indicacion}
\end{enumerate}


\item Dada la v.a.c. con distribución Chi-cuadrado $X\sim\chi(5)$ se pide calcular los valores $x_0$ que cumplan lo
siguiente:
\begin{enumerate}
\item $P(X\leq x_0)=0.90$
\begin{indicacion}{
Calcular \comando{IDF.CHISQ(0.90,5)}.}
\end{indicacion}

\item $P(X\leq x_0)=0.99$
\begin{indicacion}{
Calcular \comando{IDF.CHISQ(0.99,5)}.}
\end{indicacion}

\item $P(X> x_0)=0.025$
\begin{indicacion}{
Calcular \comando{IDF.CHISQ(1-0.025,5)}.}
\end{indicacion}

\begin{indicacion}{
Se podría calcular todos la valores a la vez definiendo la variable \textsf{x}, introduciendo todos los valores que
necesitamos, en nuestro caso $0.90$, $0.99$ y $1-0.025$ y creando la variable \variable{invprobacumu} utilizando para
ello la función \comando{IDF.CHISQ}.}
\end{indicacion}
\end{enumerate}

\end{enumerate}


\section{Ejercicios propuestos}
\begin{enumerate}[leftmargin=*]
\item Hallar las siguientes probabilidades:
\begin{enumerate}
\item $P(-2.4\leq Z \leq-1.2)$ si $Z$ es $N(0,1)$
\item $P(|Z|>1.2)$ si $Z$ es $N(0,1)$
\item $P(1.3\leq X \leq3.3)$ si $X$ es $N(2,1)$
\item $P(|X-3|>2)$ si $X$ es $N(3,4)$
\end{enumerate}

\item Entre los diabéticos, el nivel de glucosa en la sangre en ayunas $X$, puede suponerse de distribución
aproximadamente normal, con media 106mg/100ml y desviación típica 8mg/100ml.
\begin{enumerate}
\item Hallar $P(X\leq120\textrm{mg}/100\textrm{ml})$
\item ¿Qué porcentaje de diabéticos tendrá niveles entre 90 y 120mg/100ml?
\item Encontrar un valor que tenga la propiedad de que el 25\% de los diabéticos tenga un nivel de glucosa por debajo de dicho valor.
\end{enumerate}

\item Se sabe que el nivel de colesterol en varones de más de 30 años sigue una distribución normal, de media 220 y
desviación típica 30.
Realizado un estudio sobre 20000 varones mayores de 30 años,
\begin{enumerate}
\item ¿Cuántos se espera que tengan su nivel de colesterol entre 210 y 240?
\item ¿Cuántos se espera que tengan su nivel de colesterol por encima de 250?
\item ¿Cuál será el nivel de colesterol, por encima del cual se espera que esté el 20\% de la población?
\end{enumerate}
\end{enumerate}
